Onlineseminar „The isoperimetric inequality outside convex sets”

Un­ter allen ge­o­met­ri­schen Formen mit ei­nem vor­ge­ge­be­nen Um­fang: Wel­che be­sitzt den größten Flä­chenin­halt? Die­se Fra­ge be­schäftigte mög­li­cherwei­se be­reits die anti­ke Kö­nigin Dido, wel­che der Le­gen­de nach so viel Land be­an­spruchen durf­te, wie sie mit ei­nem Band fes­ter Län­ge um­schließen konnte. Be­reits den alten Griechen war klar, dass die beste Form hier­für der Kreis ist. Al­ler­dings durf­te Dido wo­mög­lich ein ge­rades Stück Küs­ten­linie „kosten­los“ als Teil ihrer Be­grenzung ver­wen­den. In die­sem Fall wäre ein an die Küs­te grenzen­der Halbkreis op­timal ge­we­sen.

Lie­ße sich eine noch bes­sere Lö­sung fin­den, wenn die Küs­ten­linie nicht ge­rade ver­läuft? Dies ist in der Tat der Fall: Bei­spielsweise lässt sich eine be­lie­big gro­ße Halbinsel um­schließen, so­lan­ge die Ver­bin­dung zum Land schmal ge­nug ist.

Wenn es kei­ne Halbinsel gibt, ist al­ler­dings ein Halbkreis um ein ge­rades Küs­ten­stück op­ti­mal. In der Ma­the­ma­tik sagt man in so ei­nem Fall, in dem die Ver­bin­dungsstrecke zweier be­lie­biger Punkte im Wasser stets wie­derum voll­stän­dig im Wasser liegt, dass die Wasser­flä­che kon­vex ist. Die­se Op­ti­ma­li­täts­aus­sage ist das so­ge­nannte isoperi­met­ri­sche Problem au­ßerhalb kon­vexer Ge­bie­te, mit des­sen Be­weis sich die Stu­die­ren­den des Eli­te­stu­di­en­gangs „TopMath” im Seminar beschäftigten.

Ma­the­ma­tisch wur­de die­ses Problem vor kur­zem in zwei Ar­bei­ten ge­löst, wel­che Me­tho­den der ge­o­met­ri­schen Maßtheo­rie nut­zen. Die­ses fort­ge­schrittene ma­the­ma­ti­sche Teil­ge­biet ver­knüpft Kon­zepte der Ana­lysis und der Ge­o­met­rie. Prof. Nicola Fusco von der Uni­ver­sità degli Studi di Napoli (Ita­lien) ist Ex­perte in die­sem Be­reich und Co-Autor einer der ge­nannten Ar­bei­ten. Die Er­geb­nisse er­läu­terte er im On­line­se­minar, an dem inte­res­sier­te Mas­ter­stu­die­ren­de und Promo­vie­ren­de der Ma­the­ma­tik ver­schiede­ner Uni­ver­sitä­ten aus dem In- und Aus­land teil­nahmen.

Während der acht Vor­le­sun­gen gab Prof. Fusco tief­gründige Ein­bli­cke in die ge­o­met­ri­sche Maßtheo­rie. Die Teil­nehmenden er­fuh­ren da­bei, wie sich in die­ser sehr abs­trak­ten Welt grundle­gen­de ge­o­met­ri­sche Kon­zepte wie Um­fang, Winkel, Flä­chenin­halt und Krüm­mung defi­nie­ren und an­wen­den las­sen.

Weitere Informationen:

https://www.ma.tum.de/de/news-events/studium/topmath/archiv/onlineseminar-fusco.html

Text: Marwin Forster, Christian Parsch, Elitestudiengang „TopMath”