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Neue Zeitin­tegra­tions­verfah­ren

Im Som­mer­semes­ter 2019 fand an der Tech­ni­schen Uni­versität Mün­chen (TUM) ein Kom­pakt­kurs über neuar­tige Zeitin­tegra­tions­verfah­ren statt. Dieser Kurs wurde von Dr. Daniel Rup­recht von der Uni­versity of Leeds und Dr. Martin Schreiber von der TUM gehal­ten. Beide sind aktive For­scher auf dem Gebiet der Zeitin­tegra­tion.

Neue Zeitin­tegra­tions­verfah­ren: paral­lel-in-time …

Seit etwa einem Jahr­zehnt sieht sich die Diszip­lin des wis­sen­schaft­lichen Rech­nens mit physi­kali­schen Ein­schränkungen des CPU/GPU-Herstel­lungs­prozes­ses kon­fron­tiert. Infol­gedes­sen wird die Leis­tungs­steige­rung nicht mehr durch die Erhö­hung der Takt­fre­quenz, son­dern durch paralle­les Rech­nen er­reicht. Dies stellt eine beson­dere Her­aus­forde­rung für Simu­latio­nen dar, die inner­halb einer be­stimm­ten Zeit been­det sein müs­sen. Hier steigen die Erwar­tungen an hö­here Auflö­sungen für größe­re Ge­nauig­keit stän­dig. Dies erfor­dert disrup­tive Ansät­ze zur Bewäl­tigung solcher Situa­tionen. Der ange­botene Kom­pakt­kurs führte die Studie­renden an neue Me­thoden der Zeitin­tegra­tion heran, die einer der viel­ver­spre­chendsten Aus­wege dieser Situa­tion sind.

Der erste Tag des Kurses begann mit einer knap­pen Ein­füh­rung zu fortge­schrit­tene Zeitin­tegra­tionstechniken für ge­wöhn­liche Diffe­renti­alglei­chun­gen (ODE) und deren Erwei­terung auf partiel­le Dif­feren­tial­glei­chun­gen (PDE). Es folgte eine Ein­füh­rung in die Parare­al-Me­thode für ODEs. Parare­al ge­hört zur Klasse der Paral­lel-in-time-Methoden mit der Grund­idee, zu­nächst eine speku­lative Lö­sung zu be­rech­nen, die suk­zessive parallel zu den speku­lativen Lö­sun­gen, d.h. parallel zur Zeit, korri­giert wird um zusätz­liche Frei­heits­grade für die Paral­lelisie­rung auf großen Super­com­putern zu nut­zen.

Am zwei­ten Tag wurde eine sehr kurze Ein­füh­rung in die Me­thoden der Raum­diskre­tisie­rung (finite Diffe­renzen und ver­schie­dene Arten von Galer­kin-Me­thoden wie z.B. globa­le/lokale Spekt­ralme­tho­den) und deren Zu­sam­men­hang mit Zeitin­tegra­tions­me­thoden disku­tiert. Dies spielt eine ent­schei­dende Rolle bei der Ent­wick­lung von PDE-Lösern, die in einer sol­chen Ent­wick­lung oft igno­riert wer­den. Damit wurde die Grund­lage für die Fort­set­zung der Parare­al-Me­thode für PDEs ge­schaf­fen.

Der dritte und vierte Tag erwei­terte das zuvor erwor­bene Wissen und Ver­ständ­nis um die expo­nenti­elle In­tegra­tion und ihre ratio­nalen Annä­herun­gen. Es folgten "spect­ral defer­red correc­tion" Ver­fahren (SDC) und deren Erwei­terung auf die mul­ti-level SDC (ML-SDC). Am Ende des Kurses erhiel­ten die Studie­renden Einbli­cke in die Ideen des "Paral­lel Full Ap­proxi­mation Scheme in Space and Time" (PFASST).

Über die vier Tage verteilt ge­wan­nen die Studie­renden des Elitestudiengangs „Bavarian Graduate School of Computationalo Engineering“ Einbli­cke in die Her­aus­forde­rungen der Zeitin­tegra­tion und der Zeitin­tegra­tions­me­thoden der nächs­ten Gene­ration. Insbe­sonde­re Me­thoden die parallel in der Zeit arbei­ten wur­den im Kurs disku­tiert und das Zu­sam­men­spiel von Zeit- und Raum­dis­kretisie­rungs­sche­mata erör­tert.

Text:
Dr. Martin Schreiber, Elitestudiengang „Bavarian Graduate School of Computational Engineering“