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Forschungsarbeit

Algorithmen für Körper und eine Anwendung auf ein Problem aus der Computer Vision

Von Anna Katharina Binder (14.06.2010)

Wenn man ein Objekt aus verschiedenen Richtungen fotographiert, dann sehen die entstehenden Fotos alle ein bißchen unterschiedlich aus. Als Mensch erkennt man dennoch sofort, dass alle Fotos das gleiche Objekt zeigen. Wie kann dies jedoch ein Computer erkennen? Eine mathematische Modellierung dieses Problems aus der Computer Vision führt auf eine Fragestellung aus der Invariantentheorie, einem Teilgebiet der Algebra: Welche Eigenschaften eines Fotos sind invariant unter dem Perspektivenwechsel der Kamera?

Schränkt man sich auf flache Objekte ein, also beispielsweise auf Straßenschilder oder Plakate, lässt sich diese Fragestellung weiter konkretisieren. Invariant sind dann genau die Eigenschaften, die sich unter einer bestimmten Gruppenoperation, der natürlichen Operation der allgemeinen projektiven linearen Gruppe auf dem projektiven Raum, nicht verändern, also invariant (lat.= unveränderlich) bleiben.

Abb. 1: Modell einer Lochkamera[Bildunterschrift / Subline]: Abb. 1: Modell einer Lochkamera.

In meiner Dissertation wird die oben beschriebene Fragestellung aus der Invariantentheorie eingehend untersucht. Es wird eine Menge von Invarianten angegeben, mit welchen ein Kriterium zur Objekterkennung zur Verfügung steht. Unterschiedliche Werte dieser Invarianten bei zwei vorliegenden Fotos bedeuten, dass die beiden Fotos nicht das gleiche Objekt zeigen. Dieses Kriterium könnte beispielsweise bei Fahrerassistenzsystemen Anwendung finden. Kameras, die in Fahrzeugen installiert werden, könnten Fotos von Schildern am Fahrbahnrand aufnehmen und die Schilder durch Vergleich der Fotos mit Fotos in einer Datenbank erkennen. Der Fahrer kann also auf die entsprechenden Schilder hingewiesen werden.

Im Verlauf der Dissertation ergibt sich eine Reihe bislang nicht gelöster Fragestellungen aus dem Bereich der algorithmischen Körpertheorie, einem Teilgebiet der Computeralgebra. Diese Fragestellungen sind nicht nur für die Lösung des oben beschriebenen Problems aus der Computer Vision entscheidend, sondern auch für sich gesehen interessant. Um eine Lösung zu finden, werden die Fragestellungen zunächst mit Hilfe der Theorie der MQS Ideale (benannt nach den Mathematikern Jörn Müller-Quade und Peter Steinwandt), in Fragestellungen über Ideale in Polynomringen übersetzt. Unter Verwendung von Gröbnerbasen werden schließlich entsprechende Algorithmen entwickelt. Darüber hinaus werden Implementierungen dieser Algorithmen in Magma, einem Computeralgebrasystem, das an der University of Sidney entwickelt wird, zur Verfügung gestellt.


Stationen
  • 2009
  • Promotion an der TU München, Titel der Dissertation: "Algorithms for Fields and an Application to a Problem in Computer Vision"
  • 2007
  • Abschluss des Diplomstudiengangs Mathematik an der TU München
  • 2005
  • Beginn der Arbeit an der Dissertation bei Prof. Gregor Kemper an der TU München
  • 2004/2005
  • Studienaufenthalt in Cambridge/UK, Studiengang: Part III of the Mathematical Tripos, Abschluss: Certificate of Advanced Study in Mathematics
  • 2004
  • Aufnahme in den Elitestudiengang TopMath
  • 2001
  • Immatrikulation an der TU München in den Studiengang Mathematik, Diplom mit Nebenfach Informatik
  • Abitur am Ludwigsgymnasium in Straubing