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Forschungsarbeit


Stochastische Prozesse in Raum und Zeit

von Dr. Carsten Chong

Die Raum-Zeit-Modelle haben vielfältigste Anwendungsbereiche: in der Strömungsphysik im Rahmen der Modellierung turbulenter Strömungen, in der Biologie zur Beschreibung von Wachstumsvorgängen oder Populationsdynamiken, in der Finanzmathematik bei multifaktoriellen Modellen. Raum kann hierbei für physikalischen Raum stehen, aber auch abstrakter für ein System vernetzter Prozesse.

Im Jahre 1827 beobachtete der schottische Botaniker Robert Brown unter dem Mikroskop, dass Pollenteilchen in einem Wassertropfen einer stetigen, aber sehr unregelmäßigen ruckartigen Bewegung ausgesetzt sind. Die physikalische Erklärung dieses Phänomens, welches seitdem den Namen brownsche Bewegung trägt, wurde erst 1905 von Albert Einstein, eine stringente mathematische Fundierung erst 1923 von Norbert Wiener geliefert. Obwohl die brownsche Bewegung ihren Ursprung in der Physik hat, sind die ihr zugrunde liegenden Prinzipien universal: sie entsteht durch die Überlagerung einer Vielzahl von kleinen unabhängigen statistisch gleichen Effekten. So sind es in Pollenexperiment die Stöße der einzelnen Wassermoleküle, die die Pollenbewegung verursachen. Diese Universalität der brownschen Bewegung erklärt ihre vielfältigen Anwendungen außerhalb der Molekularphysik: in der Signalverarbeitung kennt man das Phänomen unter dem Begriff des weißen Rauschens, in der Finanzmathematik ist die brownsche Bewegung im Rahmen der Black-Scholes-Theorie das etablierte Standardmodel für Aktienkursbewegungen schlechthin.

In den letzten siebzig Jahren, seitdem der japanische Mathematiker Kiyosi Itô durch die Einführung des nach ihm benannten Itô-Integrals 1944 den Grundstein für das Kalkül der brownschen Bewegung legte, entstanden unzählige Arbeiten zu Modellen, die auf brownscher Bewegung basieren oder sie verallgemeinern. Die meisten dieser Arbeiten untersuchen die zeitliche Dynamik von Prozessen, die brownschen Kräften ausgesetzt sind. Viel weniger Beachtung fand jedoch die Behandlung stochastischer Prozesse, die sich gleichzeitig in Raum und Zeit verändern. Solche Raum-Zeit-Modelle, in deren Bereich auch meine Forschung fällt, haben vielfältigste Anwendungsbereiche: in der Strömungsphysik im Rahmen der Modellierung turbulenter Strömungen, in der Biologie zur Beschreibung von Wachstumsvorgängen oder Populationsdynamiken, in der Finanzmathematik bei multifaktoriellen Modellen. Raum kann hierbei für physikalischen Raum stehen, aber auch abstrakter für ein System vernetzter Prozesse. Jedenfalls bringt diese zusätzliche räumliche Struktur neue Facetten mit, die man von stochastischen Prozessen in der Zeit ohne Raumkomponente nicht kennt. Es entstehen räumliche Abhängigkeitsstrukturen, deren Analyse neue mathematische Methoden erfordern.

Innerhalb des Gebietes der räumlich-zeitlichen stochastischen Prozesse lässt sich meine Forschung momentan in drei Bereiche gliedern. Das erste Thema bilden die sogenannten stochastischen partiellen Differentialgleichungen. Ihre Singularität, d.h. ihre äußerst irreguläre Natur, unterscheidet sie sowohl von ihrem zeitlichen Pendant, den gewöhnlichen stochastischen Differentialgleichungen, sowie von ihrem deterministischen Pendant, den partiellen Differentialgleichungen. Sowohl ihre wahrscheinlichkeitstheoretische als auch die statistische Untersuchung bilden Themen meiner aktuellen Forschung. Ein zweites Forschungsthema stellen sogenannte räumlich-zeitliche lineare Modelle dar. Im Gegensatz zu den stochastischen partiellen Differentialgleichungen sollen sie möglichst einfach sein, aber gleichzeitig trotzdem möglichst allgemein bleiben. Die richtige Waage zwischen Simplizität und Flexibilität zu finden, ist die Hauptaufgabe hier. Den dritten Forschungsschwerpunkt bilden sogenannte interagierende Teilchensysteme. Im Speziellen geht es um hochdimensionale Systeme stochastischer Prozesse, die sich zwar nur in der Zeit entwickeln, die aber auf verschiedene Weisen miteinander verkoppelt sind. Anwendungen finden sich zum einen in der statistischen Physik, und zum anderen bei der Modellierung von systemischem Risiko bei Banken.

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