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Forschungsarbeit

Diskret-kontinuierliche dynamische Systeme mit partiellen Differentialgleichungen: Modellierung, Analysis und Steuerung semilinearer hyperbolischer Systeme in einer räumlichen Dimension

Von Falk M. Hante (16.11.2010)

Die technologischen Entwicklungen unserer Zeit erfordern mehr denn je das Verständnis dynamischer Systeme jenseits einer vollständig kontinuierlichen oder vollständig diskreten Beschreibung. Als Beispiel sei ein Netzwerk aus Pipelines genannt, in dem Erdgas von  Lagerstätten zum Verbraucher transportiert wird. Automatisiert geregelt wird der Gasfluss unter anderem durch Kompressoren, die je nach Bedarf ein- oder ausgeschaltet werden. Ein mathematisches Modell dieses Systems enthält naturgemäß die Geschwindigkeit und Dichte des Gases als reelle Variablen sowie den Betriebsmodus der Kompressoren als diskrete Variablen. Für eine effektive Steuerung des Systems bedarf es dann einer Kopplung dieser Variablen, zum Beispiel indem ein Kompressor eingeschaltet wird, wenn der Druck in Abhängigkeit von der Dichte an einer Messstelle unter einen Schwellwert fällt. Eine vollständige Diskretisierung mag für eine numerische Simulation genügen. Jedoch ohne fundierte mathematische Erkenntnisse auf dem diskret-kontinuierlichen Niveau bleiben beispielsweise Konvergenzeigenschaften von Optimierungsalgorithmen, die nur auf dem diskreten Niveau basieren, bedeutungslos. Physikalisch gar unsinnige Lösungen können sich durch Relaxation der diskreten Variablen zu kontinuierlichen Variablen ergeben, wenn zum Beispiel aus Optimalitätsbedingungen auf dem kontinuierlichen Niveau resultiert, den Kompressor für einen optimalen Betrieb halb ein- bzw. halb auszuschalten.

Bild links: Verdichterstation Haiming (Nähe Burghausen) Copyright WINGAS; Bild rechts: Zwei Modi der Zuflusskontrolle von Erdgas[Bildunterschrift / Subline]: Bild links: Verdichterstation Haiming (Nähe Burghausen) Copyright WINGAS; Bild rechts: Zwei Modi der Zuflusskontrolle von Erdgas.


Das Studium solcher diskret-kontinuierlichen dynamischen Systeme ist daher ein etabliertes Forschungsgebiet im Grenzbereich der Regelungstechnik, Informatik und Mathematik (oft unter der Bezeichnung "hybride Systeme"). Lösungstheorien erfordern insbesondere das Verständnis des Zeno'schen Phänomens, das bei Akkumulation von Schaltzeitpunkten auftreten kann. In diesem Zusammenhang wurde jedoch bisher fast ausschließlich die Kopplung diskreter Dynamik mit gewöhnlichen Differentialgleichungen untersucht. Über die Kopplung mit partiellen Differentialgleichungen, wie sie etwa den Gasfluss in einer Pipeline beschreiben, ist wenig bekannt.

Motiviert durch vernetzte Transportsysteme wie Gas-, Wasser- oder Logistiknetzwerke werden in der Arbeit daher zunächst mathematisch fundierte Lösungstheorien für die Kopplung diskreter Dynamik mit Systemen partieller Differentialgleichungen der semilinearen hyperbolischen Klasse in einer räumlichen Dimension entwickelt. Aufgrund des multiskalaren Charakters der Problematik baut das Lösungskonzept auf verallgemeinerte Lösungen mit Regularität im Raum der Funktionen von beschränkter Variation, denn durch Schalten können Unstetigkeiten entstehen und sich entlang von Charakteristiken ausbreiten. Es wird gezeigt, dass der Informationsgehalt partieller Zustandsbeobachtung dann über die Mannigfaltigkeit der Lösung entscheidet. Zudem werden hinreichende Bedingungen angegeben, unten denen das Zeno'sche Phänomen ausgeschlossen werden kann. Auf dieser Grundlage wird dann optimales Schalten im Sinne notwendiger Optimalitätsbedingungen auf dem diskret-kontinuierlichen Niveau charakterisiert. Die numerische Umsetzbarkeit der entwickelten Theorie wird abschließend anhand von Beispielen demonstriert. 

Bild: Diskret-kontinuierliches dynamisches System mit modalem Wechsel durch Rückkoppelung.[Bildunterschrift / Subline]: Bild: Diskret-kontinuierliches dynamisches System mit modalem Wechsel durch Rückkoppelung.

Erstrebenswert wäre die Ausweitung der Ergebnisse auf weitere Klassen partieller Differentialgleichungen. Eine allgemeine Theorie ist nicht nur aus mathematischer Sicht reizvoll, sondern würde auch eine Grundlage für unsere heutigen und zukünftigen technologischen Herausforderungen bilden.


Stationen
  • seit 2010
  • PostDoc INRIA (Institut national de recherche en informatique et en automatique) am Institut Élie Cartan Universität Nancy, Frankreich
  • Juli 2010
  • Doktor der Mathematik (Dr. rer. nat.)
  • 2006-2009
  • Mitglied des Doktorandenkollegs Identifikation, Optimierung und Steuerung für technische Anwendungen, University of Erlangen-Nürnberg
  • Wissenschaftlicher Assistent am Lehrstuhl für Angewandte Mathematik von Prof. Dr. Günter Leugering, Universität Erlangen-Nürnberg
  • September-Dezember 2007
  • Visiting Scholar am "Department of Civil and Environmental Engineering", Universität Berkeley, USA
  • 2001–2006
  • Mathematikstudium, Universität Erlangen-Nürnberg
  • 1991-2000
  • Heinrich Heine Gymnasium, Dortmund

Veröffentlichungen
  • *F.M. Hante, M. Sigalotti: Converse Lyapunov Theorems for Switched Systems in Banach and Hilbert Spaces. arXiv:1006.1749 [math.OC], (June 2010).
  • *F.M. Hante, G. Leugering, T.I. Seidman: An Augmented BV Setting for Feedback Switching Control. Journal of Systems Science and Complexity, Vol. 23, Nr. 3, pp. 456--466, (June 2010).
  • *F.M. Hante, G. Leugering, T.I. Seidman: Modeling and Analysis of Modal Switching in Networked Transport Systems. Applied Mathematics and Optimization, Vol. 59, Nr. 2, pp. 275--292, (April 2009).