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Forschungsarbeit

Zustandsbeschränkte Optimalsteuerungsprobleme von gekoppelten Systemen aus gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen

von Stefan Wendl

Den Anstoß zu diesem Thema gab ein kürzlich gerechnetes Problem zur Bahnplanung eines hypersonischen Flugzeugs (Geschwindigkeit größer als Mach 4). Ziel war es, einen Kontinentalflug mit möglichst geringem Treibstoffverbrauch zu berechnen, jedoch darf die Temperatur des Hitzeschildes der Maschine dabei eine kritische Temperatur nicht überschreiten. Die Bewegung des Flugzeugs wird durch gewöhnliche Differentialgleichungen bestimmt, während eine partielle Differentialgleichung die instationäre Aufheizung beschreibt.

Hypersonischer Saenger II-Transporter[Bildunterschrift / Subline]: Der hypersonische Saenger II-Transporter (copyright Lehrstuhl für Flugsystemdynamik, Prof. em. Dr.-Ing. G. Sachs)

Die optimale Steuerung von gewöhnlichen Differentialgleichungen wurde in den letzten Jahrzehnten gründlich erforscht. In der optimalen Steuerung von partiellen Differentialgleichungen, welche ein zur Zeit hochaktuelles Forschungsgebiet darstellt, wurden in den letzten Jahren ebenfalls viele Erkenntnisse gewonnen. Im Gegensatz dazu stellen Probleme, in denen beide Typen nebeneinander auftreten, ein praktisch unerforschtes Gebiet dar. Hier etwas Licht ins Dunkel zu bringen und zu versuchen, Ergebnisse aus den beiden oben genannten Gebieten zu übertragen, ist das Ziel dieser Arbeit. Da das ideengebende Flugbahnproblem jedoch von zu vielen technischen Details überlagert ist, um eine tiefer gehende mathematische Untersuchung zu ermöglichen, musste zunächst ein abgespecktes Beispielproblem gefunden werden, welches aber alle wichtigen grundlegenden mathematischen Aspekte des ursprünglichen Problems enthält. Die Wahl fiel auf das sogenannte “Rocket Car Problem”, ein Beispiel aus der optimalen Steuerung gewöhnlicher Differentialgleichungen, in dem es darum geht, ein Objekt, das über seine Beschleunigung gesteuert werden kann, möglichst schnell von A nach B zu bringen. Zusätzlich wurde noch eine partielle Differentialgleichung hinzugefügt, die in Abhängigkeit von der aktuellen Geschwindigkeit die Temperatur des Fahrzeugs bestimmt, welche wie beim Flugzeug einen kritischen Wert nicht übersteigen darf. Erste Simulationen zeigten bereits, dass die optimale Steuerung in einigen Bereichen ein signifikant anderes Verhalten an den Tag legt, als man es z.B. bei “gewöhnlichen” Optimalsteuerungsproblemen kennt. Anwendungsgebiet für diesen Bereich der Mathematik ist die Optimale Steuerung von Prozessen, bei denen mehrere verschiedenartige physikalische oder technische Vorgänge zusammenspielen.


Stefan Wendl
Stefan Wendl
* 1980

Stationen
  • 2001-2006
  • Studium der Mathematik mit Nebenfach Theoretischer Physik an der Universität Bayreuth
  • derzeit
  • Doktorand am Lehrstuhl Ingenieurmathematik der Universität Bayreuth
  • seit Februar 2007
  • Mitglied im Internationalen Doktorandenkolleg “Identifikation, Optimierung und Steuerung für technische Anwendungen" des Elitenetzwerks Bayern